Courbes de Bézier

Définition 1.2   COURBES DE BÉZIER Soit $n \geq 2$, et soient $P_0,\ldots,P_n$ des points du plan. On définit alors la courbe de Bézier $C$ associées à ces $n+1$ points par la formule :

$$C(u) := \sum_{i=0}^n{B_{i,n}(u) P_i} \quad \quad \quad u \in [0,1]$$ (1.2)

Les $(P_i)$ sont appelés points de contrôle. Un exemple de courbe de Bézier de degré 4, avec ses cinq points de contrôles est donné à la figure 2.

Figure: Courbe de Bézier bi-quadratique

Proposition 1.2   PROPRIÉTÉS DES COURBES DE BÉZIER

(i)

Contrôle local : le point de contrôle $P_i$ influence la courbe au voisinage de $u = \frac{i}{n}$. De plus, $C(0) = P_0$ et $C(1) = P_n$, ie la courbe joint $P_0$ à $P_n$.

(ii)

Dérivée : $C'(u) = n \sum_{i=0}^{n-1}{B_{i,b-1}(u)( P_{i+1}-P_i )}$.

(iii)

Si on note $C_n(P_0, \ldots, P_n)$ la courbe associée aux points de contrôles $(P_i)_{i=1}^n$, on a la définition récursive :

$$C_n(P_0,\ldots,P_n)(u) = (1-u) P_{n-1}(P_0,\ldots,P_{n-1})(u) + u P_{n-1}(P_1,\ldots,P_n)(u)$$ (1.3)

(iv)

La courbe reste dans l'enveloppe convexe des points de contrôle (ce qui permet d'avoir une forme "grossière" d'un objet modélisé à l'aide de courbes de Bézier).

(v)

Une ligne droite rencontre au plus autant de fois la courbe de Bézier que la ligne polygonale joignant les points de contrôle (ce qui signifie que la courbe suit assez fidèlement cette ligne, sans osciller).

Remarque 2   La propriété (ii) implique en particulier que :

$$C'(0) = n(P_1 - P_0) \quad \quad \quad C'(1) = n ( P_n - P_{n-1} )$$ (1.4)

Ceci signifie que la tangente au début de la courbe (respectivement à la fin), est dirigée vers $P_1$ (respectivement à l'opposé de $P_n$), comme le montre la figure 3.

Figure: Tangentes d'une courbe de Bézier

Remarque 3   INFLUENCE DES POINTS DE CONTRÔLE Le fait d'ajouter des points de contrôles permet d'influer sur la forme de la courbe, comme le montre la figure 4. Cependant, il n'est pas judicieux d'élever de trop le degré d'une courbe (instabilité numérique, contrôle peu intuitif, etc). En général, on préfère se contenter d'utiliser des courbes de Bézier cubiques relièes entre elles de façon à garantir une continuité $C^1$. C'est ce que propose la majeure partie des logiciels de dessin vectoriel, le contrôle des splines cubiques via les tangentes aux extrémités étant très intuitif.

Figure 4: Ajout d'un point