Polynômes de Bernstein

Définition 1.1   POLYNÔMES DE BERNSTEIN Soit $n$ un entier positif. On définit, pour $i \in \{0,\ldots,n\}$ les polynômes de Bernstein $B_{i,n}$ par la formule :

$$B_{i,n}(x) := \frac{n!}{i! (n-i)!} u^i (1-u)^{n-i}$$ (1.1)

Dans la suite, on considérera uniquement ces polynômes sur $[0,1]$.

Proposition 1.1   PROPRIÉTÉS DES POLYNÔMES DE BERNSTEIN Voici les principales propriétés de ces polynômes :

(i)

$\forall i \in \{0,\ldots,n\}, \; \forall u \in [0,1], \; B_{i,n}(u) \geq 0$.

(ii)

Partition de l'unité : $\sum_{i=0}^n{B_{i,n}(u)} = 1$.

(iii)

$B_{0,n}(0) = B_{n,n}(1) = 1$.

(iv)

$B_{i,n}$ atteint son unique maximum en $u = \frac{i}{n}$.

(v)

L'ensemble des polynômes $\{B_{i,n}; \; i \in \{0,\ldots,n\}\}$ est symétrique par rapport à $u = \frac{1}{2}$.

(vi)

Définition récursive : $B_{i,n}(u) = (1 - u) B_{i,n-1}(u) + u B_{i-1,n-1}(u)$. On a convenu que $B_{i,n} = 0$ si $i < 0$ ou $i > n$.

(vii)

Dérivée : $N_{i,n}'(u) = n ( B_{i-1,n-1}(u) - B_{i,n-1}(u) )$.

Remarque 1   La propriété (vi) permet d'écrire un algorithme rapide pour évaluer un polynôme de Bernstein en un point donné de $[0,1]$. La figure 1 montre les polynômes de Bernstein quadratiques.

Figure: Polynômes de Bernstein de degré 2